Szymon Sobczak

Mit współczynników Wilcoxa

2025-08-08T00:00:00Z

Podczas studiów z wyceny przedsiębiorstw w Akademii Leona Koźmińskiego, jak również w praktyce, rozwijając Infino Legal, często spotykam się z używaniem współczynników Wilcoxa. Problem? Jarrod W. Wilcox nigdy nie tworzył modelu do wyceny.

Nigdy też nie powiedział, że do oceny wartości likwidacyjnej zapasów i należności należy przyjąć 70% ich wartości księgowej. W tym artykule postaram się wyjaśnić, o czym naprawdę jest praca Wilcoxa, z której ten wzór został zaczerpnięty.

Czym było badanie Wilcoxa?

W swojej pracy „A Prediction of Business Failure Using Accounting Data” z 1973 roku Jarrod W. Wilcox zadał sobie pytanie: czy model ruiny gracza (gambler’s ruin model) z matematycznej teorii prawdopodobieństwa może pomóc w przewidywaniu bankructwa firm? Wyobraź sobie uproszczoną ruletkę - bez zera, tylko czerwone i czarne pola. Gracz zawsze obstawia czerwone, ryzykując jeden żeton. Model matematyczny mówi: jeśli czerwone wypada rzadziej, gracz zawsze bankrutuje. Nawet jeśli czerwone wypada częściej, gracz z małą pulą żetonów może mieć pecha i stracić wszystko. Wilcox używa bardzo uproszczonej wersji ruletki – takiej, która nie ma zera, gdzie nie interesują nas liczby, tylko same kolory: czarny i czerwony.

Gracz obstawia zawsze 1 żeton i to zawsze na czerwone. Zaczyna, mając N żetonów, i w każdej turze może wygrać jeden dodatkowy żeton z prawdopodobieństwem p lub stracić jeden żeton z prawdopodobieństwem q. Prawdopodobieństwa sumują się do 100%, więc q = 1 − p.

Na takich zasadach widać, że ta gra sprowadza się do samego prawdopodobieństwa wypadnięcia czerwonego – gracz nie ma żadnego wpływu ani kontroli nad procesem.

Jeśli gra jest „niewyważona” – czarne wypada częściej niż czerwone, a gracz zawsze obstawia na czerwone, to po dłuższym czasie zawsze zbankrutuje.

Co ciekawe, nawet jeśli czerwone wypada częściej (gracz obstawia tam, gdzie ma większe szanse wygranej), to nadal może zbankrutować. Np. mając tylko 2 żetony, gracz może mieć pecha i mimo małego prawdopodobieństwa czarne może wypaść dwa razy z rzędu.

Model matematyczny mówi, że gdy czerwone, które gracz zawsze obstawia, wypada częściej niż czarne (p > q), prawdopodobieństwo ruiny gracza wynosi (q / p)^N. Oczywiście gdy czarne wypada częściej (p ≤ q), gracz zawsze zbankrutuje przy wystarczająco długiej grze.

Kluczowe odkrycie: Wilcox pokazał, że prawdopodobieństwo ruiny gracza (q / p)^N koreluje z ryzykiem bankructwa firm.

Metodologia i wyniki badania

Wróćmy do przewidywania niewypłacalności przedsiębiorstw. Wilcox pokazał, że jeśli zastosować zasady tej gry do budżetowania przedsiębiorstw, to prawdopodobieństwo ruiny gracza (q / p)^N w pewien sposób przewiduje niewypłacalność firmy.

Jak testował swój model?

52 pary firm z USA (1943–1971).
Do każdej upadłej firmy dobierał ręcznie podobną, zdrową finansowo, z podobnym rozmiarem aktywów (±20%).
Porównywał tylko w parach: która ma większe prawdopodobieństwo według modelu gracza. Jeśli dla upadłej firmy wyszło większe niż dla dobrze prosperującej, stwierdzał, że model gracza się sprawdza.

Przykład: Wilcox porównał Aero Supply i Aireon Manufacturing – podobne firmy z branży przemysłu lotniczego. Model wskazał wyższe ryzyko dla Aireon - słusznie, Aireon zbankrutował w 1948 roku.

To wszystko. Wilcox nie wytypował spółki Aireon z jakiejś większej puli jako najbardziej zagrożonej niewypłacalnością. Po prostu ocenił, że Aireon jest w gorszej sytuacji niż Aero Supply. I tak w każdej ręcznie dobranej parze z osobna.

Czy widzisz już, gdzie tkwi problem z używaniem tego modelu do wyceny aktywów?

Kluczowe różnice między celem Wilcoxa a wyceną

Celem badania Wilcoxa było przewidywanie względnego ryzyka bankructwa między podobnymi firmami. A celem wyceny jest określenie absolutnej wartości aktywów w procesie likwidacji.

Ograniczenia modelu Wilcoxa

Model miał kilka istotnych ograniczeń, które Wilcox sam przyznawał:

Działanie tylko w parach - porównuje tylko dwie podobne firmy, nie daje uniwersalnych ocen.
Cel: ranking, nie wycena - pokazuje, która firma jest bardziej ryzykowna, a nie ile są warte aktywa.
Przestarzałe dane - badanie z lat 1943–1971, inna struktura gospodarki.
Współczynniki przybliżone - sam autor nazywał je „nieprecyzyjnymi”.
Mała próba - tylko 52 pary firm, brak reprezentatywności.
Tylko podobne branże - nie można porównywać firm z różnych sektorów.

Skąd pochodzą współczynniki 0,7, 0,5 i 1,0?

Tutaj zaczyna się prawdziwa detektywistyczna praca. Przyjrzyjmy się, gdzie te współczynniki są używane. W modelu gracz obstawia po jednym żetonie ze swojej puli, a w prawdziwym świecie firmy mają aktywa i przepływy pieniężne.

Wilcox potrzebował przełożyć „żetony gracza” na rzeczywiste aktywa firmy. W tym celu zastosował arbitralne współczynniki:

Pozycja	Współczynnik
Aktywa krótkoterminowe (poza gotówką)	0,7
Aktywa długoterminowe	0,5
Zobowiązania	1,0

Sam autor napisał o nich tak:

„Pozateoretyczne” dodatkowe domeny III i IV są potrzebne, żeby uwzględnić nieprecyzyjność współczynników płynności (0,7 dla aktywów obrotowych innych niż gotówka, 0,5 dla aktywów długoterminowych i 1,0 dla zobowiązań), a także prostotę modelu ruiny gracza w świecie, gdzie bankructwo nie jest automatyczną konsekwencją niewypłacalności.

Dodatkowe domeny to sytuacje, gdzie w naszej grze gracz nie miałby już żetonów, ale Wilcox ocenia firmę, która dalej prosperuje, co w teorii nie jest możliwe.

Wilcox wskazuje, że są to tylko przybliżenia niepoparte żadnymi danymi z prawdziwego świata, ale w tym modelu to nie jest problem. To, czy umówimy się, że liczba „żetonów”, którą ma gracz, jest proporcjonalna do 40%, 50% czy 60% aktywów trwałych, znacząco nie wpłynie na wynik porównania, jeśli porównujemy tylko dwie podobne firmy z tego samego sektora i oceniamy tylko, która ma „gorzej”.

W takim porównaniu nawet jeśli dla firm przemysłu lotniczego wyniki wyjdą nam na poziomie 0,1, a w branży deweloperskiej na poziomie 0,9 – to nic nie znaczy, przecież nie będziemy ich porównywać między sobą.

Obrona Wilcoxa i wnioski

Słowo w obronie Wilcoxa – autor wcale nie twierdzi, że odkrył jakiś wspaniały wzór na przewidywanie upadłości. Sam dobrze rozumie te ograniczenia i jasno przedstawia je w swojej pracy. Jego celem nie było również znalezienie samego modelu, ale udowodnienie, że niewypłacalność firm ma coś wspólnego z matematyczną teorią błądzenia losowego i że używanie wzorów z tej dziedziny nie jest całkowicie nieuzasadnione.

Podsumowując – moim zdaniem wycena majątku likwidowanej firmy „wzorem Wilcoxa” to niefortunne wykorzystanie jego badań. Wilcox nigdy nie sugerował, że jego badania dotyczą wyceny. W swojej pracy wyraźnie opisał „nieprecyzyjne założenia”, które przyjął. Jego celem było pokazanie, że niewypłacalność firm ma pewne cechy wspólne z matematycznym modelem błądzenia losowego.

Mam nadzieję, że rozumiejąc pełny kontekst, będziemy bardziej ostrożni w stosowaniu tych współczynników przy wycenie.

Źródła

Wilcox, Jarrod W. „A Prediction of Business Failure Using Accounting Data.” Journal of Accounting Research 11 (1973): 163–79. https://doi.org/10.2307/2490035

Lekcja Excela prosto z Enronu

2025-07-17T00:00:00Z

Unikalna okazja do analizy

Afera Enronu ujawniła coś więcej niż tylko korporacyjne machinacje. Podczas postępowania sądowego na światło dzienne wyszło 717 000 e-maili pracowników, a w nich… 15 000 arkuszy Excela. Naukowcy z Delft University of Technology przeprowadzili ich analizę, z której wyłaniają się niepokojące wnioski dotyczące jakości modelowania finansowego. Wyniki powinny dać nam wszystkim do myślenia, szczególnie w branży prawnej, gdzie precyzja jest kluczowa.

24% arkuszy zawierało krytyczne błędy składni

24% to wydaje się dużo? To dopiero początek. Mówimy tu o błędach, które sygnalizują problemy: #DIV/0!, #REF!, #VALUE!. To błędy, które są widoczne od razu. Błędów semantycznych - czyli sytuacji, gdy formuła liczy coś innego niż zamierzał autor - nie dało się zidentyfikować. Dlaczego? Bo badacze nie znali intencji twórców arkuszy. Jednak inne badania, w których eksperci analizowali intencje, wykazały, że aż 94% arkuszy zawiera błędy merytoryczne! Tak, prawie wszystkie. To nie pomyłka.

Co więcej, te problematyczne arkusze wcale nie były skomplikowane - 95% z nich używało mniej niż 10 funkcji Excela, przy czym zwykłe dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczone są jako cztery osobne funkcje! I tu robi się naprawdę ciekawie: średnio jeden błąd „zarażał” 9 innych komórek, tworząc efekt domina w całym modelu.

5 zasad tworzenia niezawodnych arkuszy, czyli „code smells” w Excelu

Twórcy oprogramowania od dekad posługują się koncepcją „code smells” - można to przetłumaczyć jako „smrody kodu” czy „brzydkie zapachy”. To wzorce, które nie powodują błędów od razu, ale znacznie zwiększają ryzyko ich powstania. Skoro wiemy, że błędy w Excelu są praktycznie wszędzie (pamiętajmy o tych 94%!), warto nauczyć się rozpoznawać sytuacje, które im sprzyjają.

Formuła z dwoma „zapachami” naraz: za dużo operacji i za dużo odwołań.

Multiple Operations - zbyt długie formuły. Jeśli Twoja formuła zajmuje pół ekranu, a Ty zastanawiasz się, który nawias do czego należy, to jest sygnał ostrzegawczy. Długie formuły są trudne do weryfikacji. Rozbijaj je na mniejsze, atomowe kroki w osobnych komórkach. Myśl o tym jak o modułowym podejściu.
Multiple References - za dużo odwołań. Znasz odwoływanie się do komórek rozrzuconych po całym arkuszu (A1, potem B15, potem F45)? To sposób na problemy. Lepiej trzymać powiązane dane blisko siebie. Myśl o tym jak o dobrze zorganizowanej architekturze danych.
Calculation Chains - za długie łańcuchy zależności. Jeśli, aby zrozumieć jedną komórkę, musisz prześledzić 10 innych komórek, które z kolei odwołują się do kolejnych 10, masz problem. Takie łańcuchy są trudne do kontroli i łatwo w nich zgubić błąd. Skracaj je, upraszczaj przepływ danych.
Duplication - powtarzanie tych samych fragmentów. Kopiowanie tych samych fragmentów formuł w różnych miejscach wydaje się znajome? Programiści dobrze znają zasadę DRY - Don't Repeat Yourself. Dokładnie tak samo jest w Excelu. Lepiej wyjmować wspólne obliczenia do osobnej komórki i później odwoływać się do niej. To oszczędza czas i eliminuje błędy przy zmianach.
Conditional Complexity - za dużo zagnieżdżonych warunków. Formuły z wieloma IF-ami w środku innych IF-ów to recepta na chaos. Po miesiącu sam autor nie będzie pamiętał, co miały robić. Rozkładajcie złożone warunki na prostsze, bardziej czytelne kroki.

Praktyczne zastosowanie

Te zasady mogą wydawać się oczywiste, ale w codziennej pracy - szczególnie pod presją czasu - łatwo o nich zapomnieć. Jako CTO z 15-letnim doświadczeniem w branży IT widzę ogromny potencjał w transferze sprawdzonych metod z IT do modelowania finansowego. W Infino Legal zastępujemy arkusze dedykowanym oprogramowaniem, gdzie te zasady są wbudowane w proces tworzenia kodu. Excel to potężne narzędzie, ale jak każde narzędzie, wymaga odpowiedzialnego użycia. Te zasady to nie tylko kwestia przejrzystości, ale przede wszystkim niezawodności i bezpieczeństwa Waszych danych. W środowisku prawnym, gdzie każdy szczegół ma znaczenie, precyzja w arkuszach kalkulacyjnych jest absolutnie fundamentalna. Dlatego warto korzystać ze sprawdzonych rozwiązań.

Jakość modeli finansowych to nie tylko kwestia poprawności - to podstawa wiarygodności ekspertyz i bezpieczeństwa procesów restrukturyzacyjnych.

Źródła

Hermans, F., & Murphy-Hill, E. (2014). „Enron's Spreadsheets and Related Emails: A Dataset and Analysis.” Delft University of Technology Technical Report TUD-SERG-2014-021.
Hermans, F., Pinzger, M., & van Deursen, A. (2012). „Detecting Code Smells in Spreadsheet Formulas.” 28th IEEE International Conference on Software Maintenance (ICSM).

92 miliony dolarów straty przez jedną datę

2025-06-12T00:00:00Z

Według serwisu Slashdot, norweski państwowy fundusz majątkowy (sovereign wealth fund) stracił w 2023 roku 92 miliony dolarów z powodu... pomyłki w dacie w arkuszu Excela.

Pracownik użył daty 1.12 zamiast 1.11 przy obliczaniu benchmarku. To wszystko. Wartość funduszu przekracza 1,8 biliona dolarów, więc nawet mały błąd ciągnie za sobą znaczące konsekwencje.

Jak zareagował na to prezes funduszu, Nicolai Tangen?

“These things happen. Don’t let this ruin your weekend.”

Może ta lekkość to kwestia norweskiej kultury, ale jest w tym też dużo prawdy. Błędy w arkuszach Excel zdarzają się tak często, że na uczelniach powstają prace naukowe, które je kategoryzują. Istnieją również kompletne metodologie znajdywania i zapobiegania błędom, takie jak Error Trapping czy Metamorphic Testing (Poon, Liu, Chen 2017).

Co ciekawe - wracając do norweskiego funduszu - w 2021 roku fundusz przypadkowo zarobił 582 miliony koron (57 milionów dolarów), kupując przez pomyłkę "za dużo" rosnących akcji.

Czyli nie każdy błąd jest zły? Chyba nie tak to działa w pracy doradcy restrukturyzacyjnego. Nie może być ani za mało, ani za dużo.