Mit współczynników Wilcoxa

Podczas studiów z wyceny przedsiębiorstw w Akademii Leona Koźmińskiego, jak również w praktyce, rozwijając Infino Legal, często spotykam się z używaniem współczynników Wilcoxa. Problem? Jarrod W. Wilcox nigdy nie tworzył modelu do wyceny.

Nigdy też nie powiedział, że do oceny wartości likwidacyjnej zapasów i należności należy przyjąć 70% ich wartości księgowej. W tym artykule postaram się wyjaśnić, o czym naprawdę jest praca Wilcoxa, z której ten wzór został zaczerpnięty.

Czym było badanie Wilcoxa?

W swojej pracy „A Prediction of Business Failure Using Accounting Data” z 1973 roku Jarrod W. Wilcox zadał sobie pytanie: czy model ruiny gracza (gambler’s ruin model) z matematycznej teorii prawdopodobieństwa może pomóc w przewidywaniu bankructwa firm? Wyobraź sobie uproszczoną ruletkę - bez zera, tylko czerwone i czarne pola. Gracz zawsze obstawia czerwone, ryzykując jeden żeton. Model matematyczny mówi: jeśli czerwone wypada rzadziej, gracz zawsze bankrutuje. Nawet jeśli czerwone wypada częściej, gracz z małą pulą żetonów może mieć pecha i stracić wszystko. Wilcox używa bardzo uproszczonej wersji ruletki – takiej, która nie ma zera, gdzie nie interesują nas liczby, tylko same kolory: czarny i czerwony.

Gracz obstawia zawsze 1 żeton i to zawsze na czerwone. Zaczyna, mając N żetonów, i w każdej turze może wygrać jeden dodatkowy żeton z prawdopodobieństwem p lub stracić jeden żeton z prawdopodobieństwem q. Prawdopodobieństwa sumują się do 100%, więc q = 1 − p.

Na takich zasadach widać, że ta gra sprowadza się do samego prawdopodobieństwa wypadnięcia czerwonego – gracz nie ma żadnego wpływu ani kontroli nad procesem.

Jeśli gra jest „niewyważona” – czarne wypada częściej niż czerwone, a gracz zawsze obstawia na czerwone, to po dłuższym czasie zawsze zbankrutuje.

Co ciekawe, nawet jeśli czerwone wypada częściej (gracz obstawia tam, gdzie ma większe szanse wygranej), to nadal może zbankrutować. Np. mając tylko 2 żetony, gracz może mieć pecha i mimo małego prawdopodobieństwa czarne może wypaść dwa razy z rzędu.

Model matematyczny mówi, że gdy czerwone, które gracz zawsze obstawia, wypada częściej niż czarne (p > q), prawdopodobieństwo ruiny gracza wynosi (q / p)^N. Oczywiście gdy czarne wypada częściej (p ≤ q), gracz zawsze zbankrutuje przy wystarczająco długiej grze.

Kluczowe odkrycie: Wilcox pokazał, że prawdopodobieństwo ruiny gracza (q / p)^N koreluje z ryzykiem bankructwa firm.

Metodologia i wyniki badania

Wróćmy do przewidywania niewypłacalności przedsiębiorstw. Wilcox pokazał, że jeśli zastosować zasady tej gry do budżetowania przedsiębiorstw, to prawdopodobieństwo ruiny gracza (q / p)^N w pewien sposób przewiduje niewypłacalność firmy.

Jak testował swój model?

• 52 pary firm z USA (1943–1971).
• Do każdej upadłej firmy dobierał ręcznie podobną, zdrową finansowo, z podobnym rozmiarem aktywów (±20%).
• Porównywał tylko w parach: która ma większe prawdopodobieństwo według modelu gracza. Jeśli dla upadłej firmy wyszło większe niż dla dobrze prosperującej, stwierdzał, że model gracza się sprawdza.

Przykład: Wilcox porównał Aero Supply i Aireon Manufacturing – podobne firmy z branży przemysłu lotniczego. Model wskazał wyższe ryzyko dla Aireon - słusznie, Aireon zbankrutował w 1948 roku.

To wszystko. Wilcox nie wytypował spółki Aireon z jakiejś większej puli jako najbardziej zagrożonej niewypłacalnością. Po prostu ocenił, że Aireon jest w gorszej sytuacji niż Aero Supply. I tak w każdej ręcznie dobranej parze z osobna.

Czy widzisz już, gdzie tkwi problem z używaniem tego modelu do wyceny aktywów?

Kluczowe różnice między celem Wilcoxa a wyceną

Celem badania Wilcoxa było przewidywanie względnego ryzyka bankructwa między podobnymi firmami. A celem wyceny jest określenie absolutnej wartości aktywów w procesie likwidacji.

Ograniczenia modelu Wilcoxa

Model miał kilka istotnych ograniczeń, które Wilcox sam przyznawał:

• Działanie tylko w parach - porównuje tylko dwie podobne firmy, nie daje uniwersalnych ocen.
• Cel: ranking, nie wycena - pokazuje, która firma jest bardziej ryzykowna, a nie ile są warte aktywa.
• Przestarzałe dane - badanie z lat 1943–1971, inna struktura gospodarki.
• Współczynniki przybliżone - sam autor nazywał je „nieprecyzyjnymi”.
• Mała próba - tylko 52 pary firm, brak reprezentatywności.
• Tylko podobne branże - nie można porównywać firm z różnych sektorów.

Skąd pochodzą współczynniki 0,7, 0,5 i 1,0?

Tutaj zaczyna się prawdziwa detektywistyczna praca. Przyjrzyjmy się, gdzie te współczynniki są używane. W modelu gracz obstawia po jednym żetonie ze swojej puli, a w prawdziwym świecie firmy mają aktywa i przepływy pieniężne.

Wilcox potrzebował przełożyć „żetony gracza” na rzeczywiste aktywa firmy. W tym celu zastosował arbitralne współczynniki:

Sam autor napisał o nich tak:

„Pozateoretyczne” dodatkowe domeny III i IV są potrzebne, żeby uwzględnić nieprecyzyjność współczynników płynności (0,7 dla aktywów obrotowych innych niż gotówka, 0,5 dla aktywów długoterminowych i 1,0 dla zobowiązań), a także prostotę modelu ruiny gracza w świecie, gdzie bankructwo nie jest automatyczną konsekwencją niewypłacalności.

Dodatkowe domeny to sytuacje, gdzie w naszej grze gracz nie miałby już żetonów, ale Wilcox ocenia firmę, która dalej prosperuje, co w teorii nie jest możliwe.

Wilcox wskazuje, że są to tylko przybliżenia niepoparte żadnymi danymi z prawdziwego świata, ale w tym modelu to nie jest problem. To, czy umówimy się, że liczba „żetonów”, którą ma gracz, jest proporcjonalna do 40%, 50% czy 60% aktywów trwałych, znacząco nie wpłynie na wynik porównania, jeśli porównujemy tylko dwie podobne firmy z tego samego sektora i oceniamy tylko, która ma „gorzej”.

W takim porównaniu nawet jeśli dla firm przemysłu lotniczego wyniki wyjdą nam na poziomie 0,1, a w branży deweloperskiej na poziomie 0,9 – to nic nie znaczy, przecież nie będziemy ich porównywać między sobą.

Obrona Wilcoxa i wnioski

Słowo w obronie Wilcoxa – autor wcale nie twierdzi, że odkrył jakiś wspaniały wzór na przewidywanie upadłości. Sam dobrze rozumie te ograniczenia i jasno przedstawia je w swojej pracy. Jego celem nie było również znalezienie samego modelu, ale udowodnienie, że niewypłacalność firm ma coś wspólnego z matematyczną teorią błądzenia losowego i że używanie wzorów z tej dziedziny nie jest całkowicie nieuzasadnione.

Podsumowując – moim zdaniem wycena majątku likwidowanej firmy „wzorem Wilcoxa” to niefortunne wykorzystanie jego badań. Wilcox nigdy nie sugerował, że jego badania dotyczą wyceny. W swojej pracy wyraźnie opisał „nieprecyzyjne założenia”, które przyjął. Jego celem było pokazanie, że niewypłacalność firm ma pewne cechy wspólne z matematycznym modelem błądzenia losowego.

Mam nadzieję, że rozumiejąc pełny kontekst, będziemy bardziej ostrożni w stosowaniu tych współczynników przy wycenie.

Źródła

• Wilcox, Jarrod W. „A Prediction of Business Failure Using Accounting Data.” Journal of Accounting Research 11 (1973): 163–79. https://doi.org/10.2307/2490035